Finite Elemente für Ingenieure: Grundlagen, Matrixmethoden, by Josef Betten

By Josef Betten

Dieses zweibändige Lehrwerk führt systematisch und fundiert in die Finite-Element-Methoden für die Kontinuumsmechanik ein. Es geht damit weit über das traditionelle Anwendungsgebiet innerhalb der Strukturmechanik hinaus und zeigt auf, wie analytisch nicht oder nur unbefriedigend behandelbare Probleme innerhalb der Elasto-, Plasto- und Kriechmechanik, der Fluidmechanik, der Wärmeübertragung, aber auch der Elektrotechnik numerisch gelöst werden können. Angesprochen werden Studierende quickly aller ingenieurwissenschaftlicher Fächer. Jeder Band enthält eine Vielzahl von Übungsaufgaben mit vollständig ausgearbeiteten und diskutierten Lösungen. Im ersten Band gibt der Autor einen leicht verständlichen Einstieg in das Fachgebiet.

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Die Bandbreite ergibt sich zu B = 2m + 1, wobei m die Zahl der besetzten NebendiagonaIen ist. Die Diagonalmatrix hat wegen m = 0 die Bandbreite B = 1. Bisweilen wird auch m als Bandbreite bezeichnet oder auch m + 1 als haIbe Bandbreite. Satz: Sind die Eigenwerte der symmetrischen Matrix [AJ nur positiv, dann ist die quadratische Form {x}t[A]{x} fiir aIle {x};to {O} stets positiv. Eine solche Form nennt man positiv definit. 10 erliiutert. 1 Man beweise das MAXWELLsche Reziprozitatstheorem, das fiir die FEM von grundlegender Bedeutung ist.

Insgesamt sind also 19 Diagonale (einschlieBlich Hauptdiagonale) besetzt. Die Steifigkeitsmatrix ist eine 56 x 56 symrnetrische Matrix, da 28 Knoten mit je zwei Freiheitsgraden existieren. 16.

20) deutlich wird: [Kra] =[-ka 0]. 30) angedeutet, nennt man die Untermatrix [Kaal auch reduzierte Steifigkeitsmatrix [Kred]' Sie ist immer symmetrisch und invertierbar (nicht singular). 29) grundlegend. B. hier bei der FEM-Methode werden meistens die Eliminationsverfahren von GAUSS (GAUSS scher Algorithmus), von GAUSS-JORDAN und bei symmetrischen Matrizen von CHOLESKY sowie das lterationsverfahren von GAUSS-SEIDEL angewandt. Das CHOLESKY-Verfahren zeichnet sich durch eine bemerkenswerte Stabilitiit aus und ist am besten geeignet zur Losung von Gleichungssystemen [Al {X} = {R} mit symmetrischen, positiv definiten Bandmatrizen.

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