# Modelisation et simulation de processus stochastiques non by Puig G.

By Puig G.

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Tn ) et f comme ci-dessus, lim E T →∞ 1 T 2 T f (Yt )dt − E (f (Yt )) = 0. 2 (Cas d’un processus gaussien, [68]) Si (Xt , t ∈ R ) est un processus gaussien centré stationnaire dont la fonction d’autocorrélation RX vérifie RX ∈ L1 (R ) L2 (R ) alors (Xt , t ∈ R ) est un processus ergodique. 1 Ergodicité du modèle Dans le cas qui nous intéresse, le processus simulé est obtenu par transformation d’un processus gaussien centré stationnaire : Yt = FY−1 ◦ FG (Gt ). Si on suppose que le processus (Gt , t ∈ R ) a une fonction d’autocorrélation RG ∈ L1 (R ) L2 (R ), c’est-à-dire, d’après le paragraphe précédent, si (Gt , t ∈ R ) est ergodique alors le processus (Yt , t ∈ R ) est ergodique.

Tn ) et f comme ci-dessus, lim E T →∞ 1 T 2 T f (Yt )dt − E (f (Yt )) = 0. 2 (Cas d’un processus gaussien, [68]) Si (Xt , t ∈ R ) est un processus gaussien centré stationnaire dont la fonction d’autocorrélation RX vérifie RX ∈ L1 (R ) L2 (R ) alors (Xt , t ∈ R ) est un processus ergodique. 1 Ergodicité du modèle Dans le cas qui nous intéresse, le processus simulé est obtenu par transformation d’un processus gaussien centré stationnaire : Yt = FY−1 ◦ FG (Gt ). Si on suppose que le processus (Gt , t ∈ R ) a une fonction d’autocorrélation RG ∈ L1 (R ) L2 (R ), c’est-à-dire, d’après le paragraphe précédent, si (Gt , t ∈ R ) est ergodique alors le processus (Yt , t ∈ R ) est ergodique.

D. de loi exponentielle de paramètre γ. τn se simule donc aisément. iii. En ce qui concerne Y1 , remarquons tout d’abord que les cumulants de X et les moments de Y1 sont liés par l’équation (avec des notations évidentes) KX,α = γ R F (s)α ds MY1 ,α . , K (les cumulants KX,α se calculent à l’aide des moments MX,α ). Sous certaines conditions, il est possible de générer Y1 possédant ces moments (cf [12], voir le problème des moments). 2) implique que les cumulants d’ordre pair KX,2α doivent nécessairement être strictement positifs.